Cálculo vetorial: operações fundamentais

A seguir, temos uma breve descrição das operações mais fundamentais do cálculo vetorial: gradiente (), divergente () e rotacional (), além das suas aplicações mais importantes no eletromagnetismo (leis de Maxwell).

Operador Del ou Nabla ()

O operador é o mais utilizado no cálculo vetorial e representa as derivações parciais de uma função em relação às variáveis x, y e z (coordenadas retangulares) na direção dos próprios eixos:

De fato, temos um vetor com três operações diferenciais: derivadadas parciais em relação aos eixos do sistema de coordenadas.

Gradiente ()

O gradiente de uma função consiste na aplicação do operador Nabla em um campo escalar qualquer :

Como podemos observar, essa operação transforma um campo escalar em outro vetorial, cujo sentido físico é semelhante a de uma derivação comum (taxa de crescimento, etc.).

Exemplo

Como exemplo, calculemos o gradiente da função escalar :

Dessarte, o gradiente é uma operação matemática muito simples, mas importantíssima em inúmeras áreas do conhecimento.

Coordenadas cilíndricas e esféricas

Nesses sistemas de coordenadas, obteríamos as seguintes relações, respectivamente:

Divergente ()

O divergente constitui-se no produto escalar do operador Nabla com uma função vetorial :

Sendo ; ou seja, , e são as componentes da função .

Na verdade, alguns livros abordam o divergente como uma outra operação e não um produto escalar, utilizando a notação apenas como um mero artifício mnemônico.

Ao contrário da operação anterior, o divergente transforma um campo vetorial em outro escalar e este demonstra a tendência de um campo em divergir ou convergir em um ponto (x,y,z).

Campos vetoriais com divergente nulo em todos os pontos são denominados solenoidais. O campo densidade magnética é um bom exemplo de campo vetorial solenoidal.

A forma integral do operador corrobora a sua interpretação física:

Ou seja, se baseia na concepção do fluxo em uma superfície infinitesimal.

Exemplo

Não podemos aplicar esta operação no exemplo anterior, pois é um campo escalar. Portanto, apliquemos no campo :

Esse campo apresenta, por conseguinte, divergência nula apenas na origem (0,0,0).

Rotacional ()

O rotacional é uma operação um pouco mais complexa do que o gradiente e o divergente:

Na forma matricial, consiste no seguinte determinante:

Portanto, há a transformação de um campo vetorial em outro campo vetorial que determina a tendência daquele em circular ao redor de determinado ponto (em cada eixo).

O campo densidade magnética apresenta rotacional não-nulo e divergente nulo até que se prove a existência de monopolos magnéticos:

e

Exemplo

Podemos calcular o rotacional da função vetorial do exemplo anterior:

O resultado não surpreende devido ao aspecto dessa função.

Laplaciano ()

O laplaciano () é uma relação proveniente do gradiente e divergente:

Por exemplo, temos a equação de Laplace para campos eletrostáticos:

, derivada das seguintes relações:

(potencial elétrico) e

(Gauss)

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