Teorema de Stokes

Este teorema define a igualdade vetorial entre uma integral de linha (componente tangencial) ao longo de uma curva fechada C e a integral dupla do componente normal do rotacional ao longo de uma superfície S qualquer delimitada por C:

\Large \oint_C \vec{A} \cdot \vec{dl}= \int_S \left( \vec{ \nabla} \times \vec{A} \right) \cdot \widehat{n} dS

A relação de Stokes se aplica a todas as funções vetoriais contínuas cuja derivada também seja contínua em toda a região de integração.

O teorema pode ser aplicado à lei de Faraday (eletromagnetismo) para a obtenção do rotacional do campo elétrico:

\Large \oint_C \vec{E} \cdot \vec{dl} = -\frac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot \hat{n} dS

 

Aplicando-se o teorema de Stokes,

\Large \oint_C \vec{E} \cdot \vec{dl} = \int_S \left( \vec{\nabla} \times \vec{E} \right) \ \hat{n} dS \Rightarrow

\Large \int_S \left( \vec{\nabla} \times \vec{E} \right) \cdot \vec{n} dS = - \frac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot \hat{n} dS \Rightarrow

\Large \int_S \left( \vec{\nabla} \times \vec{E} \right) \cdot \vec{n} dS = \int_S \left( - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \hat{n} \right) dS \Rightarrow

\Large \vec{\nabla} \times \vec{E}= - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

E também do campo magnético (lei de Ampère-Maxwell):

\Large \oint_C \vec{B} \cdot \vec{dl}= \mu_o \left( I_{int} + \epsilon_o \frac{d}{dt}\int_S \vec{E} \cdot \hat{n} dS \right)

 

Aplicando-se novamente o teorema de Stokes, obtemos:

\Large \oint_C \vec{B} \cdot \vec{dl}=\int_S \left( \vec{\nabla} \times \vec{B} \right) \vec{n} dS \Rightarrow

\Large \int_S \left( \vec{\nabla} \times \vec{B} \right) \cdot \vec{n} dS=\mu_o \left( I_{int} + \epsilon_o \frac{d}{dt}\int_S \vec{E} \cdot \hat{n} dS \right)

 

Como \Large I_{int} = \int_S \vec{J} \cdot \vec{n} dS, obtemos:

\Large \int_S \left( \vec{\nabla} \times \vec{B} \right) \cdot \vec{n} dS = \mu_o \left( \int_S \vec{J} \cdot \vec{n} dS + \int_S \epsilon_o \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdot \hat{n} dS \right)

 

Portanto,

\Large \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_o \left( \vec{J} + \epsilon_o \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right)