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Cálculo vetorial: operações fundamentais

A seguir, temos uma breve descrição das operações mais fundamentais do cálculo vetorial: gradiente (\vec{\nabla}f), divergente (\vec{\nabla}\cdot \vec{F}) e rotacional (\vec{\nabla}\times \vec{F}), além das suas aplicações mais importantes no eletromagnetismo (leis de Maxwell).

Operador Del ou Nabla (\Large \vec{\nabla})

O operador \vec{\nabla} é o mais utilizado no cálculo vetorial e representa as derivações parciais de uma função em relação às variáveis x, y e z (coordenadas retangulares) na direção dos próprios eixos:

\Large \vec{\nabla} \equiv \hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z}

De fato, temos um vetor com três operações diferenciais: derivadadas parciais em relação aos eixos do sistema de coordenadas.

Gradiente (\Large \vec{\nabla}g )

O gradiente de uma função consiste na aplicação do operador Nabla em um campo escalar qualquer g(x,y,z):

\Large \vec{\nabla} g(x,y,z) = \hat{i} \frac{\partial g}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial g}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial g}{\partial z}

Como podemos observar, essa operação transforma um campo escalar em outro vetorial, cujo sentido físico é semelhante a de uma derivação comum (taxa de crescimento, etc.).

Exemplo

Como exemplo, calculemos o gradiente da função escalar g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2:

\Large \vec{\nabla} g(x,y,z) = \hat{i} \frac{\partial}{\partial x}\left( x^2 + y^2 + z^2 \right) + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y}\left( x^2 + y^2 + z^2 \right) + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z}\left( x^2 + y^2 + z^2 \right) \Rightarrow

\Large \vec{\nabla}g = \hat{i}(2x) + \hat{j}(2y) + \hat{k}(2z) \Rightarrow

\Large \vec{\nabla}g = 2 \left( x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} \right)

Dessarte, o gradiente é uma operação matemática muito simples, mas importantíssima em inúmeras áreas do conhecimento.

Coordenadas cilíndricas e esféricas

Nesses sistemas de coordenadas, obteríamos as seguintes relações, respectivamente:

\Large \vec{\nabla}g = \hat{r}\frac{\partial g}{\partial r}+ \hat{\varphi}\frac{1}{r} \frac{\partial g}{\partial \varphi} + \hat{z}\frac{\partial g}{\partial z}

\Large \vec{\nabla}g = \hat{r}\frac{\partial g}{\partial r}+ \hat{\theta}\frac{1}{r} \frac{\partial g}{\partial \theta} + \hat{\varphi}\frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial g}{\partial \varphi}

Divergente (\Large \vec{\nabla} \cdot \vec{F} )

O divergente constitui-se no produto escalar do operador Nabla (\vec{\nabla}) com uma função vetorial \vec{F}:

\Large \vec{\nabla} \cdot \vec{F}(x,y,z) = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

Sendo \vec{F}(x,y,z) = F_x \hat{i} + F_y \hat{j} + F_z \hat{k}; ou seja, F_x, F_y e F_z são as componentes da função \vec{F}(x,y,z).

Na verdade, alguns livros abordam o divergente como uma outra operação e não um produto escalar, utilizando a notação \vec{\nabla}\cdot apenas como um mero artifício mnemônico.

Ao contrário da operação anterior, o divergente transforma um campo vetorial em outro escalar e este demonstra a tendência de um campo em divergir ou convergir em um ponto (x,y,z).

Campos vetoriais com divergente nulo em todos os pontos são denominados solenoidais. O campo densidade magnética \vec{B} é um bom exemplo de campo vetorial solenoidal.

A forma integral do operador corrobora a sua interpretação física:

\Large div(\vec{F}) = \vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \lim_{\Delta V \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta V} \oint_S \vec{F} \cdot \hat{n} dS

Ou seja, se baseia na concepção do fluxo em uma superfície infinitesimal.

Exemplo

Não podemos aplicar esta operação no exemplo anterior, pois g(x,y,z) é um campo escalar. Portanto, apliquemos no campo \vec{F}(x,y,z) = x^2 \hat{i}+ y^2 \hat{j} + z^2 \hat{k}:

\Large \vec{\nabla} \cdot \vec{F}(x,y,z) = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

\Large \vec{\nabla} \cdot \vec{F}(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x} (x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2)

\Large \vec{\nabla} \cdot \vec{F}(x,y,z) = 2x + 2y + 2z = 2 \cdot (x + y + z)

Esse campo apresenta, por conseguinte, divergência nula apenas na origem (0,0,0).

Rotacional (\Large \vec{\nabla} \times \vec{F} )

O rotacional é uma operação um pouco mais complexa do que o gradiente e o divergente:

\Large \vec{\nabla} \times \vec{F}= \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \hat{i} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \hat{j} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \hat{k}

Na forma matricial, \vec{\nabla} \times \vec{F} consiste no seguinte determinante:

\Large \left| \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{matrix} \right|

Portanto, há a transformação de um campo vetorial em outro campo vetorial que determina a tendência daquele em circular ao redor de determinado ponto (em cada eixo).

O campo densidade magnética \vec{B} apresenta rotacional não-nulo e divergente nulo até que se prove a existência de monopolos magnéticos:

\Large \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_o \left( \vec{J} + \epsilon_o \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \right) e

\Large \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0

Exemplo

Podemos calcular o rotacional da função vetorial \vec{F}(x,y,z) = x^2 \hat{i} + y^2 \hat{j} + z^2 \hat{k} do exemplo anterior:

\Large \vec{\nabla} \times \vec{F} = \left[ \frac{\partial}{\partial y}(z^2) - \frac{\partial}{\partial y}(y^2) \right] \hat{i}+ \left[ \frac{\partial}{\partial z}(x^2) - \frac{\partial}{\partial x}(z^2) \right] \hat{j}

+ \left[ \frac{\partial}{\partial x}(y^2) - \frac{\partial}{\partial y}(x^2) \right] \hat{k}

\Large \vec{\nabla} \times \vec{F} = \vec{0}

O resultado não surpreende devido ao aspecto dessa função.

Laplaciano (\Large \nabla^2 g )

O laplaciano (\nabla^2 g) é uma relação proveniente do gradiente e divergente:

\Large \nabla^2 g = \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} g) \Rightarrow

\Large \nabla^2 g = \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial z^2}

Por exemplo, temos a equação de Laplace para campos eletrostáticos:

\Large \nabla^2 V = - \frac{\rho}{\epsilon_o} , derivada das seguintes relações:

\Large \vec{E}= - \vec{\nabla}V (potencial elétrico) e

\Large \vec{\nabla} \cdot \vec{E}= \frac{\rho}{\epsilon_o} (Gauss)


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